$\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{9}{11},\frac{8}{9}, ... ... ...$অনুক্রমটির সাধারণ পদ কোনটি? 

একটি অনুক্রমের সাধারণ পদ (general term) নির্ণয়ের জন্য, আমরা অপশনগুলোতে \(n\)-এর বিভিন্ন মান (1, 2, 3, ...) বসিয়ে অনুক্রমের প্রদত্ত পদগুলির সাথে মিলিয়ে দেখবো। যে অপশনটি অনুক্রমের প্রতিটি পদকে সঠিকভাবে প্রকাশ করবে, সেটিই হবে সাধারণ পদ।

প্রদত্ত অনুক্রমটি হলো: \( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{9}{11}, \frac{8}{9}, \dots \)

প্রথম পদ \((n=1)\) এর জন্য অপশনগুলো যাচাই করি:

    
• অপশন ১: \( \frac{n^2}{2n^2+1} = \frac{1^2}{2(1)^2+1} = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3} \) (সঠিক)
    
• অপশন ২: \( \frac{n^2}{n^2+2} = \frac{1^2}{1^2+2} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3} \) (সঠিক)
    
• অপশন ৩: \( \frac{3n^2}{2n^2+8} = \frac{3(1)^2}{2(1)^2+8} = \frac{3}{2+8} = \frac{3}{10} \) (ভুল, কারণ প্রদত্ত প্রথম পদ \(\frac{1}{3}\))
    
• অপশন ৪: \( \frac{n^3}{2n^2+1} = \frac{1^3}{2(1)^2+1} = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3} \) (সঠিক)

এখন দ্বিতীয় পদ \((n=2)\) এর জন্য অপশন ১, ২ এবং ৪ যাচাই করি, যেহেতু অপশন ৩ ইতোমধ্যেই বাদ পড়েছে। প্রদত্ত দ্বিতীয় পদ হলো \( \frac{2}{3} \)।

    
• অপশন ১: \( \frac{n^2}{2n^2+1} = \frac{2^2}{2(2)^2+1} = \frac{4}{2(4)+1} = \frac{4}{8+1} = \frac{4}{9} \) (ভুল, কারণ প্রদত্ত দ্বিতীয় পদ \(\frac{2}{3}\))
    
• অপশন ২: \( \frac{n^2}{n^2+2} = \frac{2^2}{2^2+2} = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (সঠিক)
    
• অপশন ৪: \( \frac{n^3}{2n^2+1} = \frac{2^3}{2(2)^2+1} = \frac{8}{2(4)+1} = \frac{8}{8+1} = \frac{8}{9} \) (ভুল, কারণ প্রদত্ত দ্বিতীয় পদ \(\frac{2}{3}\))

শুধুমাত্র অপশন ২ দ্বিতীয় পদের সাথে মিলেছে। এবার অপশন ২ দিয়ে তৃতীয় পদ \((n=3)\) এবং চতুর্থ পদ \((n=4)\) যাচাই করে নিশ্চিত হই।

তৃতীয় পদ \((n=3)\) এর জন্য:

\( \frac{n^2}{n^2+2} = \frac{3^2}{3^2+2} = \frac{9}{9+2} = \frac{9}{11} \) (সঠিক, প্রদত্ত তৃতীয় পদ \(\frac{9}{11}\))

চতুর্থ পদ \((n=4)\) এর জন্য:

\( \frac{n^2}{n^2+2} = \frac{4^2}{4^2+2} = \frac{16}{16+2} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9} \) (সঠিক, প্রদত্ত চতুর্থ পদ \(\frac{8}{9}\))

যেহেতু অপশন ২-এর সাধারণ পদটি অনুক্রমের প্রতিটি পদের সাথে মিলে যায়, তাই এটিই সঠিক উত্তর।